Rabu, 05 Desember 2012

Geo Analitik garis singgung ellips

BAB 1
PENDAHULUAN

1.      Latar Belakang Masalah
Geogebra merupakan salah satu dari sekian banyak DGS (Dynamic Geometry Software). Kita dapat mengkonstruksi bangun-bangun geometri dengan titik, vektor, segmen, garis, poligon, kerucut, dan fungsi. Elemen-elemen dapat dimasukkan dan dimodifikasi secara langsung pada layar, atau melalui input bar yang ada. Geogebra memiliki kemampuan menggunakan variabel untuk nomor, vektor dan titik, menemukan turunan dan integral dari fungsi dan memiliki perintah seperti akar atau ekstrem. Guru dapat menggunakan Geogebra untuk membuat dugaan dan membuktikan teorema geometri. Walaupun saya sendiri juga baru mencoba, tapi setidaknya itu yang dideskripsikan oleh pembuatnya.

2.      Rumusa Masalah
a.       Apakah definisi dari ellips ?
b.      Bagaimanakah penyelesaian soal tentang garis singgung ellips secara konvensional ?
c.       Bagaimanakah penyelesaiaan soal tentang garis singgung ellips menggunakan Software matematiaka geogebra ?


BABA II
PEMBAHASAN
GARIS SINGGUNG ELLIPS
1.      Definisi ellips
Ellips adalah himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.
2.      Garis Singgung Ellips
Jika garis y = mx+ c dipotongkan pada ellips  +  = 1 maka :
b2x2 + a2y2 = a2b2
b2x2 + a2 (mx + c)2 = a2b2
b2x2 + a2m2x2 + a2mcx + a2c2 – a2b2 = 0
(a2m2 + b2) x2 + 2a2mcx + (a2c2 – a2b2) = 0
Syarat menyinggung D = 0
(2a2mc)2 – 4(a2m2 + b2) (a2c2 – a2b2) = 0
4a4m2c2 – 4a4m2c2 + 4a4m2b2 – 4a2b2c2 – 4a2b4 = 0
4a4m2b2 – 4a2b2c2 – 4a2b4 = 0
4a2b2 (a2m2 – c2 – b2) = 0
Jadi, garis singgung ellips  +  = 1
Yang mempunyai gradien m adalah :       y = mx ±

Catatan :                                                                        
Garis singgung ellips  +  = 1                     
Yang mempunyai gradien m adalah :       (y - b) = m (x - a) ±

Contoh :
  1. Tentukan persamaan garis singgung ellips  +  = 1 yang ^ garis
3y + 4x = 5
Jawab :
3y = -4x + 5
  y = -x +
m1 = -
Syarat ^  :       m1 × m2 = -1     ®        m2 =
Persamaan garis singgungnya adalah :
y = mx ±
y = x ±
y = x ±
y = x ±
Jadi, persamaannya adalah :    4y = 3x ±
Gambar 1 menggunakan geogebra


3.      Garis Singgung Ellips Dengan Titik Singgung P(x1, y1)






Titik singgung P(x1, y1) pada ellips b2x2 + a2y2 = a2b2
Jadi, b2x12 + a2y12 = a2b2    ………………..(1)
Garis singgung melalui P(x1, y1)
a º y – y1 = m(x – x1)
      y = mx – mx1 + y1
Dipotongkan ke b2x2 + a2y2 = a2b2
b2x2 + a2(mx – mx1 + y1)2 = a2b2
b2x2 + a2(m2x2 + m2x12 + y12 – 2m2x1x + 2mxy1 – 2mx1y1) – a2b2 = 0
b2x2 + a2m2x2 + a2m2x12 + a2y12 – 2 a2m2x1x + 2 a2mxy1 – 2a2mx1y1 – a2b2 = 0
(b2 + a2m2) x2 + (2a2my1 – 2a2m2x1) x + (a2m2x12 + a2y12 - 2a2mx1y1 – a2b2) = 0
Syarat menyinggung D = 0 atau x1 = x2
x1 + x2 = -
      2x1 =
b22x1 + 2a2m2x1     = 2a2m2x1 – 2a2my1
                  m         =
                  m         =
Jadi, garis singgung g º y – y1 = m(x – x1)
g º y – y1 = (x – x1)
      a2y1y – a2y12    = -b2x1x + b2x12
      b2x1x + a2y1y   = b2x12 + a2y12             ………………..(2)
(1)  ®  (2)             Þ        b2x1x + a2y1y = a2b2
                                           +  = 1
Catatan :
Garis singgung ellips  +  = 1
Dengan titik P(x1, y1) adalah :       g º  +  = 1
4.      Garis Kutub / Polar
Jika P(x1, y1) diluar ellips maka P(x1, y1) disebut titik kutub.



Titik singgung Q(x2, y2)
Garis singgung g1 º  +  = 1
                              b2x2x + a2y2y = a2b2     ………………(1)
Titik singgung R(x3, y3)
Garis singgung g2 º b2x3x + a2y3y = a2b2  ………………(2)
Titik P(x1, y1) terletak pada g1
Jadi, b2x1x2 + a2y1y2 = a2b2                        ………………(3)
Titik P(x1, y1) terletak pada g2
Jadi, b2x1x3 + a2y1y3 = a2b2                        ………………(4)
Dari (3)
b2x1x2 + a2y1y2 = a2b2 ;      berarti, ada titik Q(x2, y2) terletak pada garis
l º b2x1x + a2y1y = a2b2
Dari (4)
b2x1x3 + a2y1y3 = a2b2 ;      berarti ada titik R(x3, y3) terletak pada garis
l º b2x1x + a2y1y = a2b2
Jadi, garis yang melalui Q(x2, y2) dan R(x3,y3) adalah garis kutub.
l º b2x1x + a2y1y = a2b2
l º
Catatan :
  1. Jika P(x1, y1) diluar ellips  +  = 1 maka garis kutub l º
Sedangkan garis singgung yang melalui titik kutub P(x1, y­1) diperoleh dengan cara memotongkan garis  kutub dengan ellips sehingga diperoleh dua titik potong yang berfungsi sebagai titik singgung.
  1. Jika titik P(x1, y1) di dalam ellips maka garis kutub diluar garis ellips sehingga tidak ada garis singgung melalui P(x1, y1).



Contoh :
  1. Tentukan persamaan garis singgung ellips  +  = 1 yang ditarik dari titik (5, -4)
Jawab :
Titik (5, -4)      ®         +  = 1
                                     +  = 1
                                    2 > 1
Jadi, titik (5, -4) diluar ellips
Garis kutub l º
                           +  = 1
                          4x – 5y = 20
                          y = x – 4
Dipotongkan ke ellips
 +  = 1
 +  = 1
25  + 16x2 = 25 × 16
atau
16x2 + 25y2 = 400
16x2 + 25 = 400
16x2 + 25 = 400
16x2 + 16x2 – 160x + 400 = 400
32x2 – 160x = 0
32x (x – 5) = 0
x = 0  V  x = 5
x = 0 ®  y = x – 4
                y = -4
Titik singgungnya (0, -4)
Garis singgungnya g º
                                       -  = 1
                                                 -4y = 16
                                                     y = -4
x = 5    ®        y = ×5 – 4     ®        y = 0
Titik singgung (5, 0)
Gais singgung adalah + = 1
                                    5x = 25  ®      x = 5
Garis singgung =         + = 1
                                    5x = 25  ®      x = 5
Gambar 2 menggunakan deogebra





BAB III
PENUTUP
1.      Simpulan
Dari pembelajaran yang kami lakukan dengan menggunakan cara konvensional dan menggunakan software matematika, kami menarik simpulan bahwa pembelajaran yang dilakukan dengan menggunakan software lebih cepat dan praktis  pengerjaanya dibandingkan dengan pembelajaran menggunakan konvensional. Pembelajaran yang dilakukan dengan menggunakan software, kita dapan menghemat waktu dan jawaban yang kita dapat dipastikan kebenarannya.
2.      Saran
Namun dalam praktek di lapangan (dalam kelas), hendaknya guru menerangkan secara konvensional terlebih dahulu agar siswa dapat mengetahui proses dalam mengerjakan soal. Penggunaan software dilakukan hanya sebagai pengoreksi dan pembanding saja dengan pekerjaan yang dilakukan dengan cara konvensional, agar peserta didik dapat menyelesaikan permasalahan matematika dengan atau tanpa software.



DAFTAR PUSTAKA
Buku panduan Geometri Analitik



Tidak ada komentar:

Poskan Komentar