BAB 1
PENDAHULUAN
1.
Latar
Belakang Masalah
Geogebra
merupakan salah satu dari sekian banyak DGS (Dynamic Geometry Software).
Kita dapat mengkonstruksi bangun-bangun geometri dengan titik, vektor, segmen,
garis, poligon, kerucut, dan fungsi. Elemen-elemen dapat dimasukkan dan
dimodifikasi secara langsung pada layar, atau melalui input bar yang
ada. Geogebra memiliki kemampuan menggunakan variabel untuk nomor, vektor dan
titik, menemukan turunan dan integral dari fungsi dan memiliki perintah seperti
akar atau ekstrem. Guru dapat menggunakan Geogebra untuk membuat dugaan dan
membuktikan teorema geometri. Walaupun saya sendiri juga baru mencoba, tapi
setidaknya itu yang dideskripsikan oleh pembuatnya.
2.
Rumusa
Masalah
a.
Apakah definisi dari ellips ?
b.
Bagaimanakah penyelesaian soal tentang garis singgung ellips secara
konvensional ?
c.
Bagaimanakah penyelesaiaan soal tentang garis singgung ellips menggunakan
Software matematiaka geogebra
?
BABA II
PEMBAHASAN
GARIS SINGGUNG ELLIPS
1. Definisi ellips
Ellips adalah himpunan titik-titik
(pada bidang datar) yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu
tetap besarnya.
2. Garis Singgung Ellips
Jika garis y = mx+ c dipotongkan
pada ellips + = 1 maka :
b2x2 + a2y2
= a2b2
b2x2 + a2 (mx
+ c)2 = a2b2
b2x2
+ a2m2x2 + a2mcx + a2c2
– a2b2 = 0
(a2m2
+ b2) x2 + 2a2mcx + (a2c2
– a2b2) = 0
Syarat
menyinggung D = 0
(2a2mc)2
– 4(a2m2 + b2) (a2c2 – a2b2)
= 0
4a4m2c2
– 4a4m2c2 + 4a4m2b2
– 4a2b2c2 – 4a2b4 = 0
4a4m2b2
– 4a2b2c2 – 4a2b4 = 0
4a2b2
(a2m2 – c2 – b2) = 0
Jadi, garis singgung ellips + = 1
Yang mempunyai gradien m adalah : y =
mx ±
Catatan
:
Garis singgung ellips + = 1
Yang mempunyai gradien m adalah : (y - b) = m (x - a) ±
Contoh
:
- Tentukan persamaan garis singgung ellips + = 1 yang ^ garis
3y + 4x = 5
Jawab :
3y = -4x + 5
y = -x +
m1
= -
Syarat
^ : m1
×
m2 = -1 ® m2 =
Persamaan garis singgungnya adalah :
y = mx ±
y = x ±
y = x ±
y = x ±
Jadi, persamaannya adalah : 4y = 3x ±
Gambar 1 menggunakan geogebra
3.
Garis Singgung Ellips Dengan Titik Singgung P(x1,
y1)
Titik singgung P(x1, y1)
pada ellips b2x2 + a2y2 = a2b2
Jadi, b2x12 +
a2y12 = a2b2 ………………..(1)
Garis singgung melalui P(x1, y1)
a º y – y1 = m(x – x1)
y =
mx – mx1 + y1
Dipotongkan ke b2x2 + a2y2
= a2b2
b2x2 + a2(mx –
mx1 + y1)2 = a2b2
b2x2 + a2(m2x2
+ m2x12 + y12 – 2m2x1x
+ 2mxy1 – 2mx1y1) – a2b2
= 0
b2x2 + a2m2x2
+ a2m2x12 + a2y12
– 2 a2m2x1x + 2 a2mxy1 –
2a2mx1y1 – a2b2 = 0
(b2 + a2m2)
x2 + (2a2my1 – 2a2m2x1)
x + (a2m2x12 + a2y12
- 2a2mx1y1 – a2b2) = 0
Syarat menyinggung D =
0 atau x1 = x2
x1 + x2
= -
2x1 =
b22x1
+ 2a2m2x1 =
2a2m2x1 – 2a2my1
m =
m =
Jadi, garis singgung g º y – y1 = m(x – x1)
g º y – y1 = (x –
x1)
a2y1y
– a2y12 =
-b2x1x + b2x12
b2x1x
+ a2y1y = b2x12
+ a2y12 ………………..(2)
(1) ® (2) Þ b2x1x
+ a2y1y = a2b2
+ = 1
Catatan :
Garis singgung ellips + = 1
Dengan titik P(x1, y1)
adalah : g º + = 1
4. Garis Kutub / Polar
Jika P(x1, y1)
diluar ellips maka P(x1, y1) disebut titik kutub.
Titik singgung Q(x2,
y2)
Garis singgung g1 º + = 1
b2x2x
+ a2y2y = a2b2 ………………(1)
Titik singgung R(x3, y3)
Garis singgung g2 º b2x3x +
a2y3y = a2b2 ………………(2)
Titik P(x1, y1) terletak
pada g1
Jadi, b2x1x2 +
a2y1y2 = a2b2 ………………(3)
Titik P(x1, y1) terletak
pada g2
Jadi, b2x1x3 +
a2y1y3 = a2b2 ………………(4)
Dari (3)
b2x1x2 + a2y1y2
= a2b2 ; berarti,
ada titik Q(x2, y2) terletak pada garis
l º b2x1x + a2y1y
= a2b2
Dari (4)
b2x1x3 + a2y1y3
= a2b2 ; berarti
ada titik R(x3, y3) terletak pada garis
l º b2x1x + a2y1y
= a2b2
Jadi, garis yang melalui Q(x2, y2)
dan R(x3,y3) adalah garis kutub.
l º b2x1x + a2y1y
= a2b2
l º
Catatan :
- Jika P(x1,
y1) diluar ellips + = 1 maka
garis kutub l º
Sedangkan garis singgung yang melalui titik
kutub P(x1, y1) diperoleh dengan cara memotongkan
garis kutub dengan ellips sehingga
diperoleh dua titik potong yang berfungsi sebagai titik singgung.
- Jika titik
P(x1, y1) di dalam ellips maka garis kutub diluar
garis ellips sehingga tidak ada garis singgung melalui P(x1, y1).
Contoh :
- Tentukan persamaan garis singgung ellips + = 1 yang ditarik dari titik (5, -4)
Jawab :
Titik (5, -4) ® + = 1
+ = 1
2 > 1
Jadi, titik (5, -4)
diluar ellips
Garis kutub l º
+ = 1
4x – 5y = 20
y = x – 4
Dipotongkan ke ellips
+ = 1
+ = 1
25 + 16x2 = 25 × 16
atau
16x2 + 25y2 = 400
16x2 + 25 = 400
16x2 + 25 = 400
16x2 + 16x2 – 160x + 400
= 400
32x2 – 160x = 0
32x (x – 5) = 0
x = 0
V x = 5
x = 0 ®
y = x – 4
y = -4
Titik singgungnya (0, -4)
Garis singgungnya g º
- = 1
-4y = 16
y = -4
x = 5 ® y
= ×5 – 4 ® y
= 0
Titik singgung (5, 0)
Gais singgung adalah + = 1
5x
= 25 ® x
= 5
Garis singgung = + = 1
5x = 25 ® x
= 5
Gambar 2 menggunakan deogebra
BAB III
PENUTUP
1. Simpulan
Dari pembelajaran yang kami lakukan dengan menggunakan cara
konvensional dan menggunakan software matematika, kami menarik simpulan bahwa pembelajaran yang dilakukan dengan menggunakan software lebih cepat dan praktis pengerjaanya dibandingkan dengan pembelajaran menggunakan konvensional.
Pembelajaran yang dilakukan dengan
menggunakan software, kita
dapan menghemat waktu dan jawaban
yang kita dapat dipastikan kebenarannya.
2. Saran
Namun dalam
praktek di lapangan (dalam kelas), hendaknya guru menerangkan secara
konvensional terlebih dahulu agar
siswa dapat mengetahui proses dalam mengerjakan soal. Penggunaan
software dilakukan hanya
sebagai pengoreksi dan pembanding
saja dengan pekerjaan yang dilakukan dengan cara konvensional, agar
peserta didik dapat menyelesaikan permasalahan matematika dengan atau tanpa
software.
DAFTAR PUSTAKA
Buku panduan
Geometri Analitik
Tidak ada komentar:
Posting Komentar